keisukeのブログ

***乱雑です!自分用のメモです!*** 統計や機械学習の勉強と、読み物を書く練習と、備忘録用のブログ

メモ:正定値/半正定値行列

行列Aが正定値行列(positive definite)であるとは,

  • Aが対称(ゆえにAはnxn正方行列)
  • Aの固有値がすべて正

である.これは,
{\begin{align*}
\forall z\neq \boldsymbol{0}\in\mathbb{R}^n, z^\top Az>0
\end{align*}
}
と等価.

また,行列Aが半正定値行列(positive semi-definite)であるとは,

  • Aが対称(ゆえにAはnxn正方行列)
  • Aの固有値がすべて非負

である.これは,
{\begin{align*}
\forall z\neq \boldsymbol{0}\in\mathbb{R}^n, z^\top Az\geq0
\end{align*}
}
と等価.